Tegyük fel, hogy z = x + yi, ahol x és y valós számok. Ha (iz-1) / (z-i) valós szám, akkor mutassuk meg, hogy ha (x, y) nem egyenlő (0, 1), x ^ 2 + y ^ 2 = 1?

Válasz:

Lásd alább,

Mint # Z = x + iy #

# (Iz-1) / (Z-i) = (i (x + iy) -1) / (x + iy-i) #

= # (Ix-y-1) / (X + i (y-1)) #

= # (IX- (y + 1)) / (X + i (y-1)) xx (X-i (y-1)) / (X-i (y-1)) #

= # ((IX- (y + 1)) (x-i (y-1))) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

= # (Ix ^ 2 + x (y-1) -x (y + 1) + i (y ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

= # (X ((y-1) - (y + 1)) + i (x ^ 2 + y ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

= # (- 2x + i (x ^ 2 + y ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

Mint # (Iz-1) / (Z-i) # valós

# (X ^ 2 + y ^ 2-1) = 0 # és # X ^ 2 + (y-1) ^ 2! = 0 #

Most mint # X ^ 2 + (y-1) ^ 2 # két négyzet összege, nulla csak akkor lehet, ha # X = 0 # és # Y = 1 # azaz

ha # (X, y) # nem #(0,1)#, # X ^ 2 + y ^ 2 = 1 #