# 0df97 kérdés

Válasz:

A 4-es válasz a # E ^ -2 #.

Magyarázat:

Az a baj:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Ez most nehéz probléma. A megoldás nagyon gondos mintafelismerésben rejlik. Emlékezhet a definícióra # E #:

# E = lim_ (u> oo) (1 + 1 / u) ^ u ~~ 2,718 … #

Ha át tudnánk írni a korlátot a közeljövőben a definícióhoz # E #, mi lenne a válaszunk. Szóval próbáljuk meg.

Vegye figyelembe, hogy #lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) # egyenértékű:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 4-2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Ilyen módon feloszthatjuk a frakciókat:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 4) / (2x + 4) -2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

# = Lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Ott vagyunk! Tesszük ki a tényezőt #-2# felülről és alulról:

#lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

# = Lim_ (x-> oo) (1 + ((- 2)) / (- 2 (-x-2))) ^ (2x + 2) #

# -> lim_ (x-> oo) (1+ (megszünteti (-2)) / (megszünteti (-2) (- X-2))) ^ (2x + 2) #

# = Lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- X-2)) ^ (2x + 2) #

Alkalmazzuk a helyettesítést # U = -x-2-> X = -2-u #:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- X-2)) ^ (2x + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (2 (-2-u) + 2 #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 4-2u + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) #

Az exponensek tulajdonságai: # X ^ (a + b) = x ^ ax ^ b #

Így #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) # egyenértékű:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2u) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

Az exponensek tulajdonságai azt is mondják, hogy: # X ^ (ab) = x ^ (a ^ b) #

Ez azt jelenti, hogy ez tovább csökkenti:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = Lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

Definíció szerint, #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (u) = e #; és a közvetlen határ helyettesítése a második határhozamnál:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = 1 / (1 + 1 / oo) ^ (2) #

#=1/(1+0)^(2)#

#=1/1^(2)=1#

Tehát a megoldás …

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = (E) ^ - 2 (1) #

# = E ^ -2 #