Válasz:
# x = arctan (-3) + 180 ^ circ k vagy x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k quad # egész számra # K. #
Magyarázat:
Ezt két különböző módon dolgoztam ki, de azt hiszem, ez a harmadik út a legjobb. Számos dupla szögű képlet létezik a koszinusz számára. Ne csábítsuk meg egyikük sem. Kerüljük az egyenletek egyenletezését is.
#cos 2x + 2 sin 2x + 2 = 0 #
#cos 2x + 2 sin 2x = -2 #
A kozin és a szinusz lineáris kombinációja egy fázis eltolt kozin.
enged # r = qrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2} # és
# theta = szöveg {Arc} szöveg {tan} (2/1) #
Megmutattam a fő inverz érintőt, itt az első negyedben # Téta = 63,4 ^ CIRC #. Biztosak vagyunk
#r cos theta = qrt {5} (1 / qrt {5}) = 1 #
# r sin theta = qrt {5} (2 / qrt {5}) = 2 #
Így átírhatjuk egyenletünket
#sqrt {5} ((1 / qrt {5}) cos 2x + (2 / qrt {5}) sin 2x) = -2 #
# (1 / qrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x = -2 / sqrt {5} #
# cos 2x cos theta + sin 2x bűn theta = -2 / sqrt {5} #
#cos (2x - theta) = bűn (-theta) #
#cos (2x - theta) = cos (90 ^ c + + théta) #
Mindig emlékezzen az általános megoldásra #cos x = cos a # jelentése # x = pm a + 360 ^ circ k quad # egész számra # K #.
# 2x - theta = pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
# 2x = theta pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
# x = theta / 2 óra (45 ^ circ + theta / 2) + 180 ^ circ k #
A jelek egyenkénti elfogadása
# x = theta + 45 ^ circ + 180 ^ circ k vagy x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
#phi = theta + 45 ^ circ # állandó, megpróbálhatunk jobb kifejezést kapni:
#tan (phi) = tan (arctan (2) + 45 ^ circ) #
# = {tan arctan (2) + tan (45 ^ circ)} / {1- tan (arctan (2)) tan (45 ^ circ)} = {2 + 1} / {1 - 2} = -3 #
Tudjuk #phi# a második negyedben van, nem a fő érték szokásos tartományában.
#phi = szöveg {Arc} szöveg {tan} (- 3) + 180 ^ circ #
Ez kiderül, hogy nem számít, mert hozzáadunk # 180 ^ circ k # nak nek #phi# egyébként az általános megoldás. Mindezt együtt, # x = arctan (-3) + 180 ^ circ k vagy x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
Nem kell alaposan megértenünk az arctan fő értékét; mióta hozzáadunk # 180 ^ circ k # bármilyen értéket fog tenni. Meg tudtuk írni az elsőt # X = arctan (-3) # a … val # 180 ^ circ k # implikált, de hagyjuk itt.
