Először is, van # X-1 #, # X + 1 #, és # X ^ 2-1 # mint nevező a kérdésedben. Így azt fogom venni, mert a kérdés implicit módon azt feltételezi #x! = 1 vagy -1 #. Ez valójában nagyon fontos.
Csatlakoztassuk a jobb oldali frakciót egy töredékre, # x / (x-1) + 4 / (x + 1) = (x (x + 1)) / ((x-1) (x + 1)) + (4 (x-1)) / ((x-1) (x + 1)) = (x ^ 2 + x + 4x - 4) / (x ^ 2-1) = (x ^ 2 + 5x -4) / (x ^ 2 -1) #
Itt jegyezzük meg # (x-1) (x + 1) = x ^ 2 - 1 # két négyzet különbségéből.
Nekünk van:
# (x ^ 2 + 5x -4) / (x ^ 2 -1) = (4x-2) / (x ^ 2-1) #
Törölje ki a nevezőt (mindkét oldalt szaporítsa # X ^ 2-1 #), # x ^ 2 + 5x -4 = 4x-2 #
Kérjük, vegye figyelembe, hogy ez a lépés csak az elején vállalt feltételezés miatt lehetséges. megszakítása # (x ^ 2-1) / (x ^ 2-1) = 1 # csak érvényes # x ^ 2-1! = 0 #.
# x ^ 2 + x -2 = 0 #
Ezt a négyzetes egyenletet faktorizálhatjuk:
# x ^ 2 + x - 2 = (x - 1) (x + 2) = 0 #
És így, #x = 1 #, vagy #x = -2 #.
De még nem végeztünk. Ez a megoldás a másodfokú egyenlet, de nem az egyenlet a kérdésben.
Ebben az esetben, #x = 1 # egy idegen oldat, ami egy extra megoldás, amit a problémánk megoldásának módja generál, de nem tényleges megoldás.
Szóval elutasítjuk #x = 1 #, a mi feltételezésünkből.
Ebből adódóan, #x = -2 #.
