Mi az r = (sin ^ 2theta) / (- thetacos ^ 2theta) érintő vonalának lejtése a theta = (pi) / 4-nél?

Válasz:

A lejtő #m = (4 - 5pi) / (4 - 3pi) #

Magyarázat:

Itt van egy hivatkozás a poláris koordinátákkal rendelkező érintőkre

A hivatkozásból a következő egyenletet kapjuk:

# dy / dx = ((dr) / (déta) sin (theta) + rcos (theta) / ((dr) / (déta) cos (theta) - rsin (theta)) #

Számítanunk kell # (dr) / (d theta) # de kérjük, vegye figyelembe ezt #r (théta) # az identitás használatával egyszerűsíthető #sin (x) / cos (x) = tan (x) #:

#r = -tan ^ 2 (théta) / theta #

# (dr) / (deta) = (g (theta) / (h (theta))) '= (g' (theta) h (teta) - h '(teta) g (teta)) / (h (theta)) ^ 2 #

#g (theta) = -tan ^ 2 (theta) #

#g '(theta) = -2tan (theta) sec ^ 2 (theta) #

#h (theta) = theta #

#h '(theta) = 1 #

# (dr) / (déta) = (-2-tetatán (theta) sec ^ 2 (theta) + tan ^ 2 (theta)) / (theta) ^ 2 #

Értékeljük a fentieket # Pi / 4 #

# sec ^ 2 (pi / 4) = 2 #

#tan (pi / 4) = 1 #

#r '(pi / 4) = (-2 (pi / 4) (1) (2) + 1) / (pi / 4) ^ 2 #

#r '(pi / 4) = (-2 (pi / 4) (1) (2) + 1) (16 / (pi ^ 2)) #

#r '(pi / 4) = (16-16pi) / (pi ^ 2) #

Értékelje r # Pi / 4 #:

#r (pi / 4) = -4 / pi = - (4pi) / pi ^ 2 #

Megjegyzés: A fenti nevezőt készítettem # Pi ^ 2 # úgy, hogy közös volt a # R '# és ezért megszűnik, ha a következő egyenletbe helyezzük őket:

# dy / dx = ((dr) / (déta) sin (theta) + rcos (theta) / ((dr) / (déta) cos (theta) - rsin (theta)) #

Nál nél # Pi / 4 # a szinuszok és a kosinusok egyenlőek, ezért törlődnek.

Készen állunk, hogy egyenletet írjunk a lejtőn, m:

#m = (16 - 16pi + -4pi) / (16 - 16pi - -4pi) #

#m = (4 - 5pi) / (4 - 3pi) #