Válasz:
Ha a vektor # V # és egy vektor tér lineáris átalakítása # A # olyanok, hogy #A (v) = k * v # (ahol állandó # K # nak, nek hívják sajátérték), # V # nevezzük sajátvektor lineáris transzformáció # A #.
Magyarázat:
Képzeljünk el egy lineáris transzformációt # A # az összes vektornak egy tényezővel történő nyújtása #2# a háromdimenziós térben. Bármely vektor # V # átalakulna # # 2v. Ezért ennek az átalakulásnak az összes vektora van sajátvektorok val vel sajátérték nak,-nek #2#.
Tekintsünk egy háromdimenziós tér elforgatását a Z-tengely körül # 90 ^ o #. Nyilvánvaló, hogy az összes vektor, kivéve a Z-tengely mentén, megváltoztatja az irányt, ezért nem lehet sajátvektorok. De ezek a vektorok a Z-tengely mentén (a koordináták a formában vannak) # 0,0, z #) megőrzi irányukat és hosszukat, ezért azok sajátvektorok val vel sajátérték nak,-nek #1#.
Végül tekintsünk egy forgatásra # 180 ^ o # háromdimenziós térben Z-tengely körül. Mint minden eddiginél, minden vektor hosszú Z-tengely nem változik, így vannak sajátvektorok val vel sajátérték nak,-nek #1#.
Ezenkívül az XY-síkban lévő összes vektor (a koordináták a formában vannak) # X, y, 0 #) megváltoztatja az irányt az ellenkező irányba, miközben megtartja a hosszát. Ezért is vannak sajátvektorok val vel sajátértékek nak,-nek #-1#.
A vektor tér bármely lineáris transzformációja a vektor mátrix által történő szorzásaként fejezhető ki. Például a nyújtás első példáját mátrix által történő szorzásnak nevezzük # A #
| 2 | 0 | 0 |
| 0 | 2 | 0 |
| 0 | 0 | 2 |
Egy ilyen mátrix, melyet bármely vektorral megszorozunk # V = {x, y, z} # termel # A * V = {2x, 2y, 2z} #
Ez nyilvánvalóan egyenlő # 2 * v #. Szóval, van
# A * v = 2 * v #, ami bizonyítja, hogy bármely vektor # V # egy sajátvektor egy valamivel sajátérték #2#.
A második példa (forgatás a. T # 90 ^ o # a Z-tengely körül) a mátrix által történő szorzásnak tekinthető # A #
| 0 | -1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Egy ilyen mátrix, melyet bármely vektorral megszorozunk # V = {x, y, z} # termel # A * V = {- y, x, z} #, amely ugyanolyan irányban lehet, mint az eredeti vektor # V = {x, y, z} # csak ha # X = y = 0 #, vagyis ha az eredeti vektor a Z-tengely mentén irányul.
