Kérdés # e8044

Válasz:

#color (kék) (int (1 / (1 + cot x)) dx =) #

#color (kék) (1/2 * ln ((tan ^ 2 (x / 2) +1) / (tan ^ 2 (x / 2) -2 * tan (x / 2) -1)) + x / 2 + K) #

Magyarázat:

Az adott #int (1 / (1 + cot x)) dx #

Ha az integrand a trigonometrikus függvények ésszerű funkciója, akkor a helyettesítés # z = tan (x / 2) #vagy annak megfelelője

#sin x = (2z) / (1 + z ^ 2) # és #cos x = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) # és

# Dx = (2dz) / (1 + z ^ 2) #

A megoldás:

#int (1 / (1 + cot x)) dx #

#int (1 / (1 + cos x / sin x)) dx #

#int (sin x / (sin x + cos x)) dx #

#int ((2z) / (1 + z ^ 2)) / (((2z) / (1 + z ^ 2) + (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2))) * ((2dz) / (1 + z ^ 2)) #

Egyszerűbb

#int ((2z) / (1 + z ^ 2)) / (((2z) / (1 + z ^ 2) + (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2))) * ((2dz) / (1 + z ^ 2)) #

#int (4z) / ((- z ^ 2 + 2z + 1) (z ^ 2 + 1)) * dz #

#int (-4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) * dz #

Ekkor használja a részleges frakciókat, majd integrálja

#int (-4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) * dz = int ((Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / (Z ^ 2-2z-1)) dz #

Először a részleges frakciókat végezzük

# (- 4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = (Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / (z ^ 2- 2Z-1) #

# (- 4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = ((Az + B) (z ^ 2-2z-1) + (Cz + D) (z ^ 2) +1)) / ((Z ^ 2 + 1) (Z ^ 2-2z-1)) #

Bontsa ki az egyenlet jobb oldalát

# (- 4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = #

# (Az ^ 3-2Az ^ 2-Az + Bz ^ 2-2Bz-B + Cz ^ 3 + Dz ^ 2 + Cz + D) / ((Z ^ 2 + 1) (Z ^ 2-2z-1)) #

Állítsa be az egyenleteket

# (0 * z ^ 3 + 0 * z ^ 2-4 * Z + 0 * z ^ 0) / ((Z ^ 2 + 1) (Z ^ 2-2z-1)) = #

# ((A + C) * z ^ 3 + (- 2A + B + D) * z ^ 2 + (- A-2B + C) * Z + (- B + D) * z ^ 0) / ((Z ^ 2 + 1) (Z ^ 2-2z-1)) #

Az egyenletek

# A + C = 0 #

# 2A + B + D = 0 #

# -A-2B + C = -4 #

# -B + D = 0 #

Egyidejű megoldási eredmények

# A = 1 # és # B = 1 # és # C = -1 # és # D = 1 #

Most már elvégezhetjük az integrációt

#int (-4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) * dz = int ((Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / (z ^ 2-2z-1)) dz = int ((z + 1) / (z ^ 2 + 1) + (- z + 1) / (z ^ 2-2z-1)) dz = #

# 1/2 int (2z) / (z ^ 2 + 1) dz + int dz / (z ^ 2 + 1) -1 / 2int (2z-2) / (z ^ 2-2z-1) dz #

# = 1/2 * ln (z ^ 2 + 1) + tan ^ -1 z-1/2 * ln (z ^ 2-2z-1) #

# = 1/2 * ln ((z ^ 2 + 1) / (z ^ 2-2z-1)) + tan ^ -1 z #

Visszatérjük az eredeti változójához #x# használva # z = tan (x / 2) # a végleges válaszért.

#color (kék) (int (1 / (1 + cot x)) dx =) #

#color (kék) (1/2 * ln ((tan ^ 2 (x / 2) +1) / (tan ^ 2 (x / 2) -2 * tan (x / 2) -1)) + x / 2 + K) #

hol # K = # állandó integráció

Isten áldja … remélem, hogy a magyarázat hasznos.