Mekkora az egyenlet, amely normális a poláris görbéhez f (theta) = - 5theta-bin ((3theta) / 2-pi / 3) + tan ((theta) / 2-pi / 3) teta = pi?

Válasz:

A vonal #y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #

Magyarázat:

Egy egyenlet ez a behemótja valamivel hosszabb folyamatból származik. Először felvázolom azokat a lépéseket, amelyekkel a deriválás folytatódik, majd végrehajtja ezeket a lépéseket.

Funkciót kapunk poláris koordinátákban, #f (théta) #. Elvehetjük a származékos terméket, #f '(théta) #, de ahhoz, hogy valóban találjunk egy vonalat a karikatúrás koordinátákban, szükségünk lesz rá # Dy / dx #.

Megtaláljuk # Dy / dx # az alábbi egyenlet használatával:

# dy / dx = (f '(theta) sin (theta) + f (theta) cos (teta)) / (f' (theta) cos (theta) - f (theta) sin (theta)) #

Ezután a dőlésszöget a szabványos, karikatúra vonal formájába kapcsoljuk:

#y = mx + b #

És illessze be az érdeklődésünk helyszínéül konvertált poláris koordinátákat:

#x = f (theta) cos (theta) #

#y = f (theta) sin (theta) #

Néhány dolog, ami azonnal nyilvánvaló, és időt takarít meg a sorban. Vonalat érintünk a ponthoz #theta = pi #. Ez azt jelenti #sin (theta) = 0 # így…

1) Az egyenletünk # Dy / dx # valójában:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

2) A pontunk démoni koordinátáinak egyenletei:

#x = -f (theta) #

#y = 0 #

A probléma tényleges megoldása az első üzleti sorrendünk #f '(théta) #. Nem nehéz, mindössze három egyszerű származék, kettős láncszabály:

#f '(theta) = -5 - 3/2 cos ((3pi) / 2 - pi / 3) + 1/2 sec ^ 2 (theta / 2 - pi / 3) #

Most tudni akarjuk #f (pi) #:

#f (pi) = -5pi - sin ((7pi) / 6) + tan (pi / 6) #

# = -5pi - 1/2 + 1 / sqrt3 #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) #

És #f "(pi) #…

#f '(pi) = -5 - 3/2 cos ((7pi) / 6) + 1/2 sec ^ 2 (pi / 6) #

# = -5 + (3sqrt3) / 4 + 2/3 #

# = (9sqrt3 - 52) / 12 #

Ezekkel a kezekkel készen állunk a lejtőnk meghatározására:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) * 12 / (9sqrt3 - 52) #

# = (6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52) #

Ezt be tudjuk kapcsolni # M # ban ben #y = mx + b #. Emlékezzünk rá, hogy korábban meghatároztuk # Y = 0 # és #x = -f (theta) #:

# 0 = - ((6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3)) + b #

# 0 = - ((3 (1-10pi) + 2sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (sqrt3) + b #

# 0 = - ((sqrt3 (1-10pi) + 2) / (9sqrt3 - 52)) (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) + b #

#b = ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) ^ 2) / (9sqrt3 - 52) #

Összehasonlíthatjuk a korábban meghatározottakat # M # a mi újonnan meghatározott # B # a sor egyenletének megadásához:

#y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #