Egy 12-es hosszúságú akkord a pi / 12-ről a pi / 6 radianra egy körön. Mi a kör területe?

Válasz:

Egy kör területe

#S = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) = (72pi) / (1 sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4))

Magyarázat:

A fenti kép a probléma feltételeit tükrözi. Minden szög (a jobb megértés érdekében kibővítve) a vízszintes X-tengelytől számított radiánok #ÖKÖR# óramutató járásával ellentétes irányban.

# AB = 12 #

# / _ XOA = pi / 12 #

# / _ XOB = pi / 6 #

# OA = OB = r #

Meg kell találnunk egy kör sugarát annak meghatározása érdekében.

Tudjuk, hogy az akkord # # AB hossza van #12# és a sugárok közötti szög # # OA és # # OB (hol # O # egy kör közepe)

#alpha = / _ AOB = pi / 6 - pi / 12 = pi / 12 #

Készíts magasságot # OH # egy háromszög #Delta AOB # a csúcsról # O # oldalra # # AB. Mivel #Delta AOB # egyenlőn, # OH # medián és szögbisszektor:

# AH = HB = (AB) / 2 = 6 #

# / _ AOH = / _ BOH = (/ _ AOB) / 2 = pi / 24 #

Tekintsünk egy jobb háromszöget #Delta AOH #.

Tudjuk, hogy a katétus # AH = 6 # és szög # / _ AOH = pi / 24 #.

Ezért, hypotenuse # # OA, ami körünk sugara # R #, egyenlő

# R = OA = (AH) / sin (/ _ AOH) = 6 / sin (pi / 24) #

A sugár ismeretében találunk egy területet:

# S = pi * r ^ 2 = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) #

Ezt kifejezzük trigonometrikus függvények nélkül.

Mivel

# sin ^ 2 (phi) = (1-cos (2phi)) / 2 #

a területet a következőképpen fejezhetjük ki:

# S = (72pi) / (1-cos (pi / 12)) #

Egy másik trigonometrikus identitás:

# cos ^ 2 (phi) = (1 + cos (2phi)) / 2 #

#cos (phi) = sqrt (1 + cos (2phi)) / 2 #

Ebből adódóan,

#cos (pi / 12) = sqrt (1 + cos (pi / 6)) / 2 = #

# = sqrt (1 + sqrt (3) / 2) / 2 = sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4) #

Most egy kör területét képviselhetjük

#S = (72pi) / (1 sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Válasz:

Egy másik megközelítés ugyanaz az eredmény

Magyarázat:

A fenti ábrán az AB hossza 12 hosszúságú# Pi / 12 # nak nek # Pi / 6 # a kör sugarában r és O középpontja, mint eredet.

# / _ AOX = pi / 12 # és # / _ BOX = pi / 6 #

Tehát az A poláris koordinátája # = (R, pi / 12) # és a B # = (R, pi / 6) #

Távolsági képlet alkalmazása a poláris koordinátára

az AB akkord hossza,# 12 = sqrt (r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (/ _ BOX - / _ AOX) #

# => 12 ^ 2 = r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (pi / 6-pi / 12) #

# => 144 = 2r ^ 2 (1-cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 144 / (2 (1-cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = cancel144 ^ 72 / (cancel2 (1-cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (2 * pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (pi / 6)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

Tehát a kör területe

# = Pi * r ^ 2 #

# = (72pi) / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

# = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt3) / 4) #