A ^ 8 + b ^ 8 tényező?

Válasz:

# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) # mert #l RR #

# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8)) # # mert #l = | b | e ^ (itheta) CC #

Az algebra alaptétele, tudjuk tényező az adott kifejezést

# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 1) ^ 8 (a-alpha_k) #

ahol mindegyik # # Alpha_k a gyökere # X ^ 8 + b ^ 8 #.

Megoldás # # Alpha_k, kapunk

# x ^ 8 + b ^ 8 = 0 #

# => x ^ 8 = -b ^ 8 #

# => X = (-B ^ 8) ^ (1/8) #

# = | B | (-1) ^ (1/8) # (feltételezve, #l RR #)

# = | B | (e ^ (i (pi + 2pik))) ^ (1/8) #

# = | b | e ^ (ipi ((2k + 1) / 8), k ZZ-ben

Mint #k {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} # számláira egyedi értékeit, hogy a forma, mi megkapjuk a faktorizációs amilyen #l RR #

# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) #

Egy általánosabb #l CC #, Majd feltételezve #b = | b | e ^ (itheta) #, hasonló számításokat is végezhetünk

# (- b ^ 8) ^ (1/8) = | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8))

jelentés

# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8)) # #

Sajnálom, némi apró részletet figyelmen kívül hagyok, az általa adott válasz helyes.

Feltételezve #l ne 0 # és # a, b RR-ben nekünk van

# (A / b) ^ 8 = -1 = e ^ (IPI + 2kpi) # azután

# A / b = e ^ (i (2k + 1) pi / 8) # azután

# a-b e ^ (i (2k + 1) pi / 8) = 0 # a # K = 0,1, cdots, 7 # gyökerek vagy faktorok.

Határozza

#p (k) = a-BE ^ (i (2k + 1) pi / 8) #

és akkor

# f_1 = p (1) p (6) = a ^ 2 - (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #

# f_2 = p (2) p (5) = a ^ 2 + (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #

# f_3 = p (3) p (4) = a ^ 2 + (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #

# f_4 = p (0) p (7) = a ^ 2 - (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #

így

# a ^ 8 + b ^ 8 = f_1 f_2 f_3 f_4 # valós együtthatókkal.