Mi az sqrt115 legegyszerűbb radikális formája?

Válasz:

Nincs egyszerűbb forma

Magyarázat:

A radikálisokkal megpróbáljuk faktorizálni az érvet, és nézd meg, hogy vannak-e olyan négyzetek, amelyek „kivihetők a gyökér alól”.

Példa: # Sqrt125 = sqrt (5xx5xx5) = sqrt (5 ^ 2) xxsqrt5 = 5sqrt5 #

Ebben az esetben nincs ilyen szerencse:

# Sqrt115 = sqrt (5xx23) = sqrt5xxsqrt23 #

Válasz:

#sqrt (115) # már a legegyszerűbb formában van.

Magyarázat:

A. T #115# jelentése:

#115 = 5*23#

Mivel nincs négyzetes tényező, a négyzetgyök nem egyszerűsíthető. Lehetséges termékként kifejezni, de ez nem számít egyszerűbbnek:

#sqrt (115) = sqrt (5) * sqrt (23) #

#fehér szín)()#

pótlék

A racionális szám bármely irracionális négyzetgyökéhez hasonlóan #sqrt (115) # ismétlődő folytonos frakcióterjesztése:

#sqrt (115) = 10; bar (1,2,1,1,1,1,1,2,1,20) #

#=10 + 1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+1/(1+1/(20+1/(1+…)))))))))))#

A korai szakaszban levő töredezettség-bővítést meg lehet szüntetni, hogy racionális közelítést adjon a következőhöz: #sqrt (115) #.

Például:

#sqrt (115) ~~ 10; 1,2,1,1,1,1,1,2,1 #

#= 10 + 1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(2+1/1))))))))#

#=1126/105#

Valójában a folytonos frakció ismétlődő szakaszának vége előtti csonkítással a legegyszerűbb racionális közelítést találtuk #sqrt (115) # amely megfelel a Pell egyenletének.

Ez az:

#115*105^2 = 1267875#

#1126^2 = 1267876#

csak különbözik #1#.

Ez teszi # 1126/105 ~~ 10.7bar (238095) # hatékony közelítés #sqrt (115) ~~ 10.7238052947636 #