Mi a GDC (2 ^ 32-2 ^ 24 + 2 ^ 16-2 ^ 8 + 1, 2 ^ 8 + 1)?

Válasz:

A legnagyobb közös osztója #2^32-2^24+2^16-2^8+1# és #2^8+1# jelentése #1#

Magyarázat:

Vegye figyelembe, hogy:

#257 = 2^8+1 = 2^(2^3)+1#

egy prímszám - valójában az egyik kevés ismert Fermat prímszám.

Tehát az egyetlen lehetséges közös tényező #2^8+1# és #2^32-2^24+2^16-2^8+1# vannak #1# és #257#.

Amint azonban a kérdésben megjegyezte:

#2^32-2^24+2^16-2^8+1 = (2^40+1)/(2^8+1)#

formája:

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x ^ 5 + y ^ 5) / (x + y) #

Az egyik tényező # (x + y) = 2 ^ 8 + 1 # nak,-nek #2^40+1# az egység és az igazi ötödik gyökere # (X + y) # nem automatikusan a fennmaradó quartic tényezője # X ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # akiknek egyéb lineáris tényezői nem igazi komplexek.

Manuálisan megoszthatjuk # X ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # által # X + y # hogy polinommaradékot kapjunk, majd helyettesítsük # X = 2 ^ 8 # és # Y = 1 # annak ellenőrzése, hogy ez nem különleges eset …

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x + y) (x ^ 3-2x ^ 2y + 3xy ^ 2-4y ^ 3) + 5y ^ 4 #

A fennmaradó rész tehát:

# 5y ^ 4 = 5 (szín (kék) (1)) ^ 4 = 5 #

Mivel a maradék nem nulla, #2^32-2^24+2^16-2^8+1# és #2^8+1# nincs közös tényezője nagyobb, mint #1#.