Bizonyítsuk be: tan ^ 5x = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / ( 1 + cosx) ^ 2)?

Bizonyítani

# Tg ^ 5x = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1+ cosx) ^ 2) #

RHS

# = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

# = (((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (1-sin ^ 2x) ^ 2) / (((1 + cosx ^ 2) - (1-cosx) ^ 2) / (1-cos ^ 2x) ^ 2) #

# = ((4sinx) / cos ^ 4x) / ((4cosx) / (sin ^ 4x)) #

# = Sin ^ 5x / cos ^ 5x = tan ^ 5x = LHS #

Bizonyított

Ez egyike azoknak a bizonyítékoknak, amelyeket könnyebben lehet jobbról balra dolgozni. Kezdeni valamivel:

# ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

A beágyazott frakciók számlálóját és nevezőjét a "konjugátumok" (pl. # # 1pmsinx tovább # 1 sinx #). Ezt megkapja, pl. # (1 + sinx) (1-sinx) = 1-sin ^ 2x #.

# = (((1 + sinx) / ((1-sin ^ 2x) (1-sinx))) - ((1-sinx) / ((1-sin ^ 2x) (1 + sinx)))) / / (((1 + cosx) / ((1-cos ^ 2x) (1-cosx))) - ((1-cosx) / ((1-cos ^ 2x) (1 + cosx))) #

Ismételje meg az előző lépést a beágyazott frakciók nevezőjének további egyszerűsítéséhez:

# = (((1 + sinx) ^ 2 / ((1-sin ^ 2x) ^ 2)) - ((1-sinx) ^ 2 / ((1-sin ^ 2x) ^ 2))) / (((1 + cosx) ^ 2 / ((1-cos ^ 2x) ^ 2)) - ((1-cosx) ^ 2 / ((1-cos ^ 2x) ^ 2)) #

Használja az identitásokat # 1-sin ^ 2x = cos ^ 2x # és # 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x # megkapja:

# = (((1 + sinx) ^ 2 / (cos ^ 4x)) - ((1-sinx) ^ 2 / (cos ^ 4x))) / (((1 + cosx) ^ 2 / (sin ^ 4x)) - ((1-cosx) ^ 2 / (sin ^ 4x)) #

A frakciók összevonása és a fordulatszámok megfordítása:

# = (((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x)) / (((1 + cosx) ^ 2- (1-cosx) ^ 2) / (sin ^ 4x)) #

# = ((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / ((1 + cosx) ^ 2- (1-cosx) ^ 2) #

Bontsa ki a négyzetes kifejezéseket:

# = (törlés (1) + 2sinx + törlés (sin ^ 2x) - (törlés (1) -2sinx + törlés (sin ^ 2x))) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / (törlés (1) + 2cosx + megszünteti (cos ^ 2x) - (törléséhez (1) -2cosx + megszünteti (cos ^ 2x))) #

# = (törlés (4) sinx) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / (törlés (4) cosx) #

# = szín (kék) (tan ^ 5x) #