Mi az általános képlet az n-es fokozatú polinom diszkriminánsának?

Válasz:

Lásd a magyarázatot …

Magyarázat:

A polinom megkülönböztetője #f (X) # fok # N # a Sylvester mátrix determinánsával jellemezhető #f (X) # és #f '(x) # alábbiak szerint:

Adott:

#f (x) = a_nx ^ n + a_ (n-1) x ^ (n-1) + … + a_1x + a_0 #

Nekünk van:

#f '(x) = na_ (n-1) x ^ (n-1) + (n-1) a_ (n-1) x ^ (n-2) + … + a_1 #

A Sylvester mátrixa #f (X) # és #f '(x) # egy # (2n-1) xx (2n-1) # az alábbi tényezőkhöz hasonlóan az együtthatókkal képzett mátrix # N = 4 # …

# ((a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0, 0), (0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, 0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0), (4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0, 0), (0,4a_4,3a_3,2a_2, a_1,0,0), (0, 0, 4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 0, 4a_4,3a_3,2a_2, a_1)) #

Ezután a diszkrimináns #Delta# a Sylvester-mátrix determinánsát adja meg a következő képlettel:

#Delta = (-1) ^ (1 / 2n (n-1)) / a_nabs (S_n) #

mert # N = 2 # nekünk van:

#Delta = (-1) / a_2abs ((a_2, a_1, a_0), (2a_2, a_1,0), (0,2a_2, a_1) = a_1 ^ 2-4a_2a_0 #

(amely az űrlapon jobban felismerhető #Delta = b ^ 2-4ac #)

mert # N = 3 # nekünk van:

#Delta = (-1) / a_3abs ((a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, a_3, a_2, a_1, a_0), (3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0), (0, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 3a_3, 2a_2, a_1)) #

#color (fehér) (Delta) = a_2 ^ 2a_1 ^ 2-4a_3a_1 ^ 3-4a_2 ^ 3a_0-27a_3 ^ 2a_0 ^ 2 + 18a_3a_2a_1a_0 #

A quadratikusok diszkriminánsai (# N = 2 #) és a köbösök (# N = 3 #) a leghasznosabbak abban, hogy pontosan elmondják, hogy hány valódi, ismételt vagy nem valós komplex nulla van.

A magasabb rendű polinomokra vonatkozó diszkrimináns értelmezése korlátozottabb, de mindig rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy a polinom megismétli a nullákat, és csak akkor, ha a diszkrimináns nulla.

#fehér szín)()#

További irodalom

Lásd: