Hogyan találja meg a csúcsokkal párhuzamosan elterülő területet?

Válasz:

Párhuzamos programozáshoz # # ABCD a terület

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) |

Magyarázat:

Tegyük fel, hogy a paralelogramma # # ABCD a négy csúcs koordinátái határozzák meg - # X_A, y_A #, # X_B, y_B #, # X_C, y_C #, # X_D, y_D #.

A paralelogramma területének meghatározásához szükségünk van a bázis hosszára # | AB | # és a magasság # | DH | # a csúcsról # D # mutatni # H # oldalán # # AB (vagyis #DH_ | _AB #).

Először is, a feladat egyszerűsítése érdekében mozgassuk a pozícióba, amikor a csúcsa # A # egybeesik a koordináták eredetével. A terület ugyanaz lesz, de a számítások könnyebbek lesznek.

Tehát a következő koordinátákat hajtjuk végre:

# U = x-x_A #

# V = y-y_A #

Aztán a (# U, V #) az összes csúcs koordinátái:

#A U_A = 0, V_B = 0 #

#B U_B = x_B-x_A, V_B = y_B-y_A #

#C U_C = x_C-x_A, V_C = y_C-y_A #

#D U_D = x_D-x_A, V_D = y_D-y_A #

A párhuzamosságot most két vektor határozza meg:

# P = (U_B, V_B) # és # Q = (U_D, V_D) #

Határozza meg az alap hosszát # # AB mint a vektor hossza # P #:

# | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #

A magasság hossza # | DH | # kifejezhető # | AD | * sin (/ _ BAD) #.

A hosszúság #HIRDETÉS# a vektor hossza # Q #:

# | AD | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Szög #/_ROSSZ# meghatározható a vektorok skaláris (pont) termékének két kifejezésével # P # és # Q #:

# (P * q) = U_B * U_D + V_B * V_D = | p | * | Q | * cos (/ _ BAD) #

amelyből

# Cos ^ 2 (/ _ BAD) = (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

# Sin ^ 2 (/ _ BAD) = 1-cos ^ 2 (/ _ BAD) = #

# = 1- (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) = #

# = (U_B * V_D-V_B * U_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Most már tudjuk, hogy az összes összetevő számítja ki a területet:

Bázis # | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #:

Magasság # | DH | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) * | U_A * V_D-V_A * U_D | / sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

A terület a termék:

#S = | AB | * | DH | = | U_B * V_D-V_B * U_D | #

Az eredeti koordináták szerint ez így néz ki:

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) |

Válasz:

egy másik vita

Magyarázat:

Geometriai bizonyíték

Figyelembe véve az ábrát

könnyen meghatározhatjuk az ABCD párhuzamos programozási terület számítási képletét, amikor bármely három csúcs (mondjuk A, B, D) ismert.

Mivel az átlós BD két párhuzamos háromszögre osztja a párhuzamosságot.

A párhuzamos program ABCD területe

= 2 ABD háromszög területe

= 2 trapéz terület BAPQ + csapda területe BQRD - csapda DAPR területe

=2# 1/2 (AP + BQ) PQ + 1/2 (BQ + DR) QR-1/2 (AP + DR) PR #

= # (Y_A + Y_B) (X_B-X_A) + (Y_B + Y_D) (X_D-X_B) - (Y_A + Y_D) (X_D-X_A) #

=# Y_AX_B + megszakítás (Y_BX_B) - törlés (Y_AX_A) -Y_BX_A + Y_BX_D + törlés (Y_DX_D) - törlés (Y_BX_B) -Y_AX_D-Cancel (Y_DX_D) + törlés (Y_AX_A) + Y_DX_A #

=#Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) #

Ez a képlet megadja a párhuzamosság területét.

Bizonyíték a vektorra

Azt is meg lehet állapítani, figyelembe véve #vec (AB) # és# vec (AD) #

Most

Az A w.r pont pozícióvektora, az O eredete, #vec (OA) = X_Ahati + Y_Ahatj #

A B w.r pont pozícióvektora, az O eredete, #vec (OB) = X_Bhati + Y_Bhatj #

A D w.r pont pozícióvektora, az O eredete, #vec (OD) = X_Dhati + Y_Dhatj #

Most

Az ABCD párhuzamos programozási területe

# = Alap (AD) * Magasság (BE) = AD * h #

# = AD * ABsintheta = | VEC (AD) Xvec (AB) | #

Újra

#vec (AD) = VEC (OD) -vec (OA) = (X_D-X_A) hati + (Y_D-Y_A) hatj #

#vec (AB) = VEC (OB) -vec (OA) = (X_B-X_A) hati + (Y_B-Y_A) hatj #

#vec (AD) #x#vec (AB) = (X_D-X_A) (Y_B-Y_A) - (X_B-X_A) (Y_D-Y_A) hatk #

Terület = # | VEC (AD) #x#vec (AB) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D + Mégse (Y_AX_A) -Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B-cancel (Y_AX_A) |

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) | #

Így ugyanaz a képlet van