Az alábbiak közül melyik rendelkezik a maximális valós számmal?

Válasz:

# x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 # val vel #4# igazi gyökerek.

Magyarázat:

Ne feledje, hogy a következő gyökerek:

# ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 #

a két egyenlet gyökereinek egyesülése:

# {(ax ^ 2 + bx + c = 0), (ax ^ 2-bx + c = 0):} #

Ne feledje, hogy ha a két egyenletnek egyike valódi gyökerei vannak, akkor a másik is, mivel ugyanaz a diszkrimináns:

#Delta = b ^ 2-4ac = (-b) ^ 2-4ac #

Továbbá megjegyezzük, hogy ha #a, b, c # mindegyiknek ugyanaz a jele van # ax ^ 2 + b abs (x) + c # mindig az adott jel értékeit veszi fel #x# valós. Tehát a mi példáinkban # A = 1 #, azonnal tudjuk, hogy:

# x ^ 2 + 3 abs (x) +2> = 2 #

így nincs nulla.

Nézzük meg a másik három egyenletet:

1) # x ^ 2-abs (x) -2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-x-2 = (x-2) (x + 1) => x {-1, 2}), (0 = x ^ 2 + x-2 = (x +2) (x-1) => {a {-2, 1}):} #

Mindegyiket próbáljuk megoldani #x a {-2, 2} #

3) # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) => x {1, 2}), (0 = x ^ 2 + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2) => {{1, -2}}:} #

Mindegyik kipróbálásakor megtaláljuk az eredeti egyenlet megoldásait, azaz #x a {-2, -1, 1, 2} #

Alternatív módszer

Ne feledje, hogy az igazi gyökerei # ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 # (hol #c! = 0 #) pozitív valós gyökerei # ax ^ 2 + bx + c = 0 #.

Tehát ahhoz, hogy az adott egyenletek közül melyiknek a legvalószínűbb gyökerei vannak, megegyezik azzal, hogy a megfelelő rendes kvadratikus egyenletek közül melyiknek a leginkább pozitív valós gyökerei vannak.

A négy pozitív egyenlőség két pozitív valódi gyökérrel rendelkezik a mintában #+ - +# vagy #- + -#. Példánkban az első jel mindig pozitív.

A példák közül csak a második és a harmadik együtthatók a mintában #+ - +#.

A második egyenletet le lehet vonni # x ^ 2-2 abs (x) + 3 = 0 # mivel a diszkrimináns negatív, de a harmadik egyenlet esetében:

# 0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) #

két pozitív valódi gyökere van #4# az egyenlet gyökerei # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #